Abstract: Ax=b的完整解，以及一个解，infinity个解，没有解的所有条件和说明 Keywords: Ax=b,Special Solution,Full Column Rank,Full Row Rank,Complete Solution
方程组的完整解
$Ax=b$
之前我们已经研究了 $Ax=0$的相关内容，值得说一下的是，列空间和nullspace是有些区别的，列空间指的是b所在的空间，而nullspace是x所在的空间，这个要区别一下，这些所有空间都是针对矩阵的。
特解(Particular Solution)
搞不懂Particular Solution和Sceptical Solution有啥区别的可以仔细看看了，之前我也没发现其有什么根本不同，Particular Solution是把所有的free variables设置为0，来一个完整的例子 $$ \begin{bmatrix} 1&3&0&2\ 0&0&1&4\ 1&3&1&6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1\6\7 \end{bmatrix} $$ Augmented Matrix: $$ \begin{bmatrix} 1&3&0&2&1\ 0&0&1&4&6\ 1&3&1&6&7 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} A&b \end{bmatrix} $$ 经过消元，对原始矩阵方程消元和对Augment Matrix消元得到结果相同，这里就只写augment matrix： $$ \begin{bmatrix} 1&3&0&2&1\ 0&0&1&4&6\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} R&d \end{bmatrix} $$ 通过定位pivot可以确定free columns是第二列和第四列，如果我们把$x_2,x_4$设置为零，那么就得到了x为 $$ \begin{bmatrix} x_1\x_2\x_3\x_4 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1\0\6\0 \end{bmatrix} =x_{particular} $$ 可以通过回代验证$Rx=d$或者$Ax=b$这里的free variables都是0，那么就说这个解是particular的，而且可以发现pivot对应的x位置与d有关系，按顺序就是d对应的元素，这不是巧合，观察矩阵可以得到相应的结论。
这是我们到目前位置讨论的方程组的两种解，一个当b=0的时候，一个当b不等于0的时候，如果我们把这两个方程组左右相加，那么就得到
$$
Ax_p=b\
Ax_n=0\
Ax_p+Ax_n=b+0\
A(x_p+x_n)=b
$$
那么完整的解(式子中的数字来自上面的例子，nullspace我没有写出来，大家可以自行验证)：
为什么完整解是上看的式子呢，可以看下一节的详细介绍。
完整解(The Complete Solution)
前面我们确定了完整的解就是$x_p+x_n$，那么我们到底有多少个解呢？
| 序号 | m&r | n&r | Matrix Shape | Ax=b | Solution |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | r=m | r=n | Square and Invertible | Ax=b | 1 |
| 2 | r=m | r<n | Short and Wide | Ax=b | $\infty$ |
| 3 | r<m | r=n | Tall and Thin | Ax=b | 0 or 1 |
| 4 | r<m | r<n | Not full rank | Ax=b | 0 or $\infty$ |
这四种情况，简单讲解下：
第一种：是方阵，我们最标准的方程组，rank与m,n相等，那么就一个解。这种情况下，消元后的R是单位矩阵： $$ R=\begin{bmatrix}I\end{bmatrix} $$
第二种：如果方程组的个数小于未知数的个数，而rank与行相同，rank=m<n,消元后的R是如下矩阵： $$ R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix} $$
第三种：如果方程组的个数大于未知数的个数，而rank与列数相同，rank=n<m,消元后的R是如下矩阵： $$ R=\begin{bmatrix}I\0\end{bmatrix} $$ 如果b与R下面全是0的行对应的行不是0，那么就没有解
第四种：如果有效的方程组的个数小于未知数的个数，与情况二相似，但是有效方程数还小于远方程数，rank<m,rank<n,消元后的R是如下矩阵： $$ R=\begin{bmatrix}I&F\0&0\end{bmatrix} $$ 如果b与R下面全是0的行对应的行不是0，那么就没有解
自此，Ax=b 的所有解以及对应的情况都已经搞定了，***但是为啥complete solution是$x_p+x_n$呢？***这就是个悬案了，后面一定给出答案，现在就暂时记住就好了（回归课堂教育，先记住，就没有然后了）。
Conclusion
这篇也比较凌乱，不像写算法那种博客很流畅，解释，代码，总结这种套路在这不太实用，因为知识错综复杂，本文上面的四种解的情况才是重点，包括什么时候没有解，什么时候无数个解，如果按照表和矩阵R的形式来看，就会豁然开朗，后面继续。。。