Abstract: 矩阵基本计算，包括加减乘法，主要是乘法的几种不同的理解

Keywords: Addition，Subtraction，Multiplication，Inner Product，Outer Product

本课视频课程已上线：4 矩阵计算法则

矩阵操作

矩阵加法、减法

矩阵加减法，规则很简单，矩阵要求尺寸一样，row一样，column也得一样，这样按照对位相加减就行了。 $$ \begin{bmatrix}a_{11}&&a_{12}&&a_{13}\ a_{21}&&a_{22}&&a_{23}\ a_{31}&&a_{32}&&a_{33}\end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix}b_{11}&&b_{12}&&b_{13}\ b_{21}&&b_{22}&&b_{23}\ b_{31}&&b_{32}&&b_{33}\end{bmatrix}\= \begin{bmatrix}a_{11}\pm a_{11}&&a_{12}\pm b_{12}&&a_{13}\pm b_{13}\ a_{21}\pm b_{21}&&a_{22}\pm b_{22}&&a_{23}\pm b_{23}\ a_{31}\pm b_{31}&&a_{32}\pm b_{32}&&a_{33}\pm b_{33}\end{bmatrix} $$ 这个没啥好说的，别减错地方就行。一对一进行

乘法

乘法才是矩阵计算的关键，计算意义，计算量，等很多是些非常有意义的研究课题，我记得本科学习线性代数的时候，老师先来将行列式，接着就是矩阵的计算法则，然后接着就是rank类的东西了，确实书本是这么讲的，但是现在想想，好像没啥逻辑，所以就没去上课了（给自己随便找个借口逃课）。

矩阵规模

相乘的两个矩阵尺寸上有些要求，例如对于： $AB$ If A has n column,B must have n rows 如果A为$m\times n$，B为 $n\times p$那么他们相乘的结果： $$ (m\times n)(n \times p)=(m\times p) $$

行乘列(Row Dot Product Column)

Dot product之前已经讲过了，就是如何通过两个向量，pia的一下变成一个数字，矩阵可以看做是向量组成的，所以给出第一个规则，假设乘法为$AB=C$ $$ C_{ij}=(row;i;of;A) \cdot (column;j;of;B) $$ 这个规则是我之前上课学的，也是最基本的矩阵乘法公式，当然也可以写成求和的形式，但是我觉得通过dot product来看这个反而更直观一些，就不再把求和那个写出来了，补充句，在矩阵相乘的编程处理中，经过调整内外层循环，可以最大化利用高速缓冲，能够提高乘法速度。这个让我想起来之前项目，同事非要自己写乘法，然后就按照公式计算顺序，写了一个一毛一样的东西出来，虽然只做3x3的一个小矩阵乘法，速度什么的基本没什么影响，但是我觉得这当你不能保证你写的功能的稳定性和速度的时候，使用稳定的第三方库是个不错的选择。

矩阵内乘、外乘(Inner or Outer)

dot product也叫inner product，当时我就在想有没有outer product，Pro. Strang在课堂上没有介绍outer但是在书上写了下，inner的矩阵形式是这样的： $$ \begin{bmatrix}a_1&a_2&\dots&a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1\b_2\newline \vdots \b_n\end{bmatrix}=\sum_{i=0}^{n}a_i*b_i $$ outer的矩阵形式，就是。。 $$ \begin{bmatrix}a_1\a_2\newline \vdots \a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1&b_2&\dots&b_m\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_1b_1&&a_1b_2&&\dots &&a_1b_m\ a_2b_1&&a_2b_2&&\dots &&a_2b_m\ \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\ a_nb_1&&a_nb_2&&\dots &&a_nb_m\ \end{bmatrix} $$ 其实outer的过程通过一行一列产生一个矩阵，所以当多列和多行（行和列必须相等数量）的矩阵相乘的时候就会产生多个矩阵，再对矩阵进行相加，这个过程的编程实现时，缓存利用率很高，就是本段开头说道的矩阵相乘的速度问题，当然这是不是最快的解决办法我也不知道，知识从哪本书上看到了这种说法，印象比较深刻

列模型(Column Model)

列模型，如果把矩阵看做是很多列的组合，那么可以回归到最早的$Ax=b$的过程 $A$是被乘矩阵, $\textbf{x}$ 扩展成多列的矩阵$X$ $$ X=\begin{bmatrix} \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\ x_1&&x_2&&\dots&&x_n\ \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\ \end{bmatrix} $$ 把x代入 $$ AX= A \begin{bmatrix} \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\ x_1&&x_2&&\dots&&x_n\ \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\ \end{bmatrix}\

\begin{bmatrix} \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\ A x_1&&A x_2&&\dots&&A x_n\ \vdots&&\vdots&&\dots &&\vdots\ \end{bmatrix} $$ 写数学类的博客就是累，还是贴代码那种技术博客好写。 把X分解成多个列，每列与A的乘积作为结果对应的列，这就是列视角，或者叫做列模型

行模型(Row Model)

有行就有列，有列就有行： $$ A=\begin{bmatrix} \dots&& a_1 &&\dots\ \dots&& a_2 &&\dots\ \vdots&&\vdots&&\vdots\ \dots&& a_m &&\dots\ \end{bmatrix}\ AX= \begin{bmatrix} \dots&& a_1 &&\dots\ \dots&& a_2 &&\dots\ \vdots&&\vdots&&\vdots\ \dots&& a_m &&\dots\ \end{bmatrix}X

\begin{bmatrix} \dots&& a_1X &&\dots\ \dots&& a_2X &&\dots\ \vdots&&\vdots&&\vdots\ \dots&& a_mX &&\dots\ \end{bmatrix} $$ 行过程和列过程基本呈现一种对称关系，这也是线性代数有趣的一点，经常是左右开工，得到相同的结果。

块(Block)

没错，矩阵是可以切块的，最极端的方式就是每个矩阵按照一个块一个元素的切法，那就和原始矩阵一样了，这种切块粒度太小，如果把一个矩阵当做一块，那粒度又太大，举个一般的例子🌰 继续使用上一节消元的矩阵 $$ E=\begin{bmatrix} 1&&0&&0\ -3&&1&&0\ 0&&0&&1\ \end{bmatrix}\ A=\begin{bmatrix} 1&&x&&x\ 3&&x&&x\ 4&&x&&x\ \end{bmatrix}\ EA= \left[\begin{array}{c|cc} 1&0&0\\hline -3&1&0\ 0&0&1\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c|cc} 1&&x&&x\\hline 3&&x&&x\ 4&&x&&x\ \end{array}\right]\

\left[\begin{array}{c|cc} 1&&x&&x\\hline 0&&x&&x\ 0&&x&&x\ \end{array}\right] $$ 分块进行 $$ EA= \left[\begin{array}{c|c} I&0\\hline -CA^{-1}&I\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c|c} A&B\\hline C&D\ \end{array}\right]\

\left[\begin{array}{c|c} IA+0C&IB+0D\\hline -CA^{-1}A+IC&-CA^{-1}B+D\ \end{array}\right] $$

吃完饭码了这些公式，然后我又饿了，这是个消元的过程，E是消元矩阵，我们把3x3矩阵分块成了2x2的块矩阵，分块的规则是，对应要相乘的矩阵规模必须匹配正确（原文match）。然后把块当做元素继续按照乘法法则进行相乘.

注意：分成的块矩阵相乘与矩阵相乘要求一致，顺序不能互换。$AB\neq BA$

Schur Complement

矩阵分块消元，右下角的那个矩阵，也就是 $$ -CA^{-1}B+D $$ 被叫做Schur Complement。

矩阵法则

法律说明，你必须遵守法律，矩阵的法律和现实的法律有点不一样，现实的法律是“法不禁止即可为”，但是矩阵的法律如果没说明可以，也没规定不行，那这个law你就要小心使用，最好在论证后进行使用！ $$ A+B=B+A\ c(A+B)=cA+cB\ A+(B+C)=(A+B)+C\ AB \neq BA\ C(A+B)=CA+CB\ (A+B)C=AC+BC\ A(BC)=(AB)C\ A^p=AA\dots A(p;factors)\ A^p\cdot A^q=A^{p+q}\ (A^p)^q=A^{pq}\ $$

以上是不完全的矩阵法则

$$ A(B+C)=AB+AC $$ 证明： 逐列进行，比如b，c是B和C的对应两个列 $$A(b+c)=Ab+Ac$$ 这是所有的关键—线性（linearity）

总结

这是矩阵基本操作的一个总结，依法办事，做法律允许的计算才能得到正确的结果，当然也取决于机器的问题，比如后面要写的数值分析，里面就有不少算法精度收到机器的限制，导致合法操作得不到准确结果，各位加油，我们后面继续！